Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)
    • Die komplexen ZahlenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7)
    • Supremum und InfimumRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • Wurzel reeller ZahlenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • FolgenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Konvergenz und DivergenzRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • ReihenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • Konvergenzkriterien für ReihenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
    • PotenzreihenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
    • StetigkeitRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
    • AbleitungRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
      • AbleitungRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
      • AbleitungsregelnRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
      • Spezielle AbleitungsregelnRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
      • Ableitung der UmkehrfunktionRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
      • Beispiele für AbleitungenRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)
      • Ableitung höherer OrdnungRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25)
      • Satz von RolleRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)
      • MittelwertsatzRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27)
      • KonstanzkriteriumRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28)
      • MonotoniekriteriumRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29)
      • Ableitung und lokale ExtremaRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30)
      • Regel von L'HospitalRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31)
      • Übersicht: Stetigkeit und DifferenzierbarkeitRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32)
      • Aufgaben 1
      • Aufgaben 2
      • Aufgaben 3
      • Aufgaben 4
    • IntegraleRegel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33)

Als letzte Anwendung des Mittelwertsatzes, genauer gesagt des zweiten Mittelwertsatzes, wollen wir die Regel von L’Hospital herleiten. Diese stellt eine praktische Möglichkeit dar, den Grenzwert einer Quotientenfunktion durch separates Ableiten von Zähler und Nenner zu bestimmen. Benannt ist die Regel nach dem französischen Mathematiker Guillaume François Antoine L’Hospital, sie stammt allerdings von dem Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli.

Die Regel von L’Hospital[Bearbeiten]

Satz(Regel von L’Hospital)

Sei Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35) mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36) oder Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37) mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38). Seien Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39) differenzierbare Funktionen und gelte Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40) für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41). Weiter existiere der Grenzwert Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42). Zudem gelte eine der beiden Aussagen:

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44)
  2. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45).

Dann gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46).

Beweis(Regel von L’Hospital)

Wir betrachten zunächst den ersten Fall mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47). Wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) können wir die Funktionen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51) stetig fortsetzen. Wir erhalten die Funktionen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54) für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55). Weiter setzen wir Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57).

Wir betrachten nun eine beliebige Folge Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58), die gegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59) konvergiert. Da die Funktionen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61) stetig sind, können wir den verallgemeinerten Mittelwertsatz anwenden. Es gibt also eine Folge Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62), so dass für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64) bzw. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65) und

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66)

Somit folgt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67)

Da dies für jede beliebige Folge Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68) gilt, folgt insgesamt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69).

To-Do:

2. Fall

Nun betrachten wir den Fall Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71). Dazu definieren wir die Hilfsfunktionen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) Dabei wählen wir ein Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74) für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) bzw. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77). Wir setzen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) bzw. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79). Für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) setzen wir Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82).

Wir betrachten im Folgenden nur den Fall Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83), da der Beweis für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84) analog geht. Es gilt:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85)

Wir können also die Regel von L’Hospital für den Fall Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86), den wir bereits bewiesen haben, anwenden. Es gilt:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87)

To-Do:

Satz fertig schreiben

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

Standardtypen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90)[Bearbeiten]

Zunächst behandeln wir die Typen, bei denen sich die Regeln direkt anwenden lassen.

Beispiel(Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 1)

Als erstes wollen wir den „Klassiker“

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91)

berechnen. Es gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92). Außerdem sind Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94) auf Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95) differenzierbar, und es gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96). Da weiter

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97)

existiert, gilt mit dem Satz von L’Hospital ebenfalls

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98)

Im Allgemeinen schreiben wir dies nicht so ausführlich auf. Wir überprüfen die Voraussetzungen im Kopf, und schreiben das Ergebnis wie folgt auf:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99)

Hinweis

Mit der Regel von L’Hospital lässt sich der Grenzwert Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100) sehr einfach als „Einzeiler“ berechnen. Wir weisen allerdings darauf hin, dass wir bei der Anwendung der Regel die Ableitung

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101)

verwendet haben. Für die Berechnung dieser wurde also genau dieser Grenzwert benötigt. Da wir die Ableitungen der Grundfunktionen allerdings als bekannt voraussetzen, wenn sie einmal berechnet sind, stellt dies kein Problem dar.

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital)

Bestimme die folgenden Grenzwerte:

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102)
  2. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103)

Lösung(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital)

Teilaufgabe 1:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104)

Teilaufgabe 2:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105)

Beispiel(Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 2)

Als nächstes bestimmen wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106)

Es gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107). Da auch die anderen Voraussetzungen zum Satz von L’Hospital erfüllt sind, gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108)

Dieser Grenzwert lässt sich für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109) verallgemeinern zu

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110)

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 2)

Bestimme für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) den Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112)

Lösung(Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 2)

Es gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113)

Manchmal ist es auch notwendig die Regeln von L’Hospital mehrmals hintereinander anzuwenden, bevor wir zum gewünschten Ergebnis gelangen.

Beispiel(Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 3)

Als nächstes bestimmen wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114)

Es gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115). Wenden wir L’Hospital an, so erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116)

Nun gilt wieder Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117). Wenden wir L’Hospital erneut an, so erhalten wir schließlich

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118)

Also gilt insgeamt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119)

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 3)

Bestimme für die Grenzwerte

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120)
  2. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121)

Lösung(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 3)

Teilaufgabe 1:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122)

Teilaufgabe 2:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123)

Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124)[Bearbeiten]

Hier sind die Regeln von L’Hospital nicht unmittelbar anwendbar. Der „Trick“ ist es daher durch Kehrwertbildung einen Bruchterm zu erzeugen, und so einen Grenzwert in der Standardform Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125) oder Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126) zu erhalten.

Beispiel(Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 4)

Das Standardbeispiel zu diesem Fall ist der Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127)

Es gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129). Nun erhalten wir durch Kehrwertbildung

See Also
Regel von de l’Hospital | MatheGuru.comRegel von l'Hospital: Anwendung & BeispieleRegel von Bernoulli-l'Hospital (erste Regel von l'Hospital) in Mathematik | Schülerlexikon

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130)

Da gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131), ist L’Hospital anwendbar, und wir erhalten

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132)

Warnung

Zwar führt die Umformung

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133)

auf einen Ausdruck der Form Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134). Jedoch erhalten wir hier durch Anwendung der Regel von L’Hospital

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135)

Dieser Ausdruck ist nun wieder vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136), hat jedoch eine kompliziertere Form als der Ursprüngliche. Der Trick führt also nicht immer zum Erfolg!:-(

Hinweis

Für zwei beliebige Funktionen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138) mit den entsprechenden Eigenschaften lautet der Umformungstrick:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139)

oder

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140)

Je nachdem mit welcher der beiden Formen sich der Grenzwert danach leichter berechnen lässt.

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 4)

Berechne

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141)
  2. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142)
  3. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143)

Lösung(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 4)

Teilaufgabe 1:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144)

Teilaufgabe 2:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145)

Teilaufgabe 3:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146)

Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147)[Bearbeiten]

Als nächstes behandeln wir Differenzen von Grenzwerten, die beide uneigentlich gegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148) konvergieren. Oftmals handelt es sich dabei um Differenzen von Bruchtermen. Durch Hauptnennerbildung und Zusammenfassen zu einem Bruchterm kann der Ausdruck häufig so umgeformt werden, dass die Regeln von L’Hospital anwendbar sind.

Beispiel(Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 5)

Betrachten wir den Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149)

Hier gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150). Also ist der Grenzwert vom beschriebenen Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151). Durch Hauptnennerbildung erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152)

Wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153) ist L’Hospital anwendbar, und wir erhalten

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154)

Hinweis

Für zwei beliebige Funktionen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) lautet der Umformungstrick:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157)

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 5)

Bestimme

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158)
  2. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159)

Lösung(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 5)

Teilaufgabe 1: Es gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160)

Teilaufgabe 2: Hier gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161)

Typen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162), Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163), Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165)[Bearbeiten]

Tritt einer der beschriebenen Fälle ein, so wenden wir den Trick an, den wir schon bei der Berechnung der Ableitung von verallgemeinerten Potenzfunktionen angewendet haben: Wir schreiben zunächst Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) als Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167). Da Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168) auf ganz Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169) stetig ist, lässt sich der Limes „nach Innen ziehen“. Der dort gebildetet Grenzwert ist nun sehr häufig von Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170) und lässt sich wie oben beschrieben mit den Regeln von L'Hopital berechnen.

Beispiel(Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 6)

Der „Klassiker“ hier ist der Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171)

Dieser ist von Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172). Wie oben beschrieben formen wir ihn um zu

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173)

Ziehen wir den Limes in die Exponentialfunktion, so entsteht der Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174)

Dieser ist von Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175). Weiter oben hatten wir ihn wie folgt berechnet

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176)

Wegen der Stetigkeit von Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177) folgt daher

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178)

Hinweis

Der Grenzwert Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179) ist auch der Hauptgrund, warum Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180) gesetzt wird. Denn dadurch íst die Funktion Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181) stetig in null.

Hinweis

Für zwei beliebige Funktionen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183) mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184) lautet der Umformungstrick:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (185)

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 6)

Berechne die folgenden Grenzwerte

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (186)
  2. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187)

Lösung(Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 6)

Teilaufgabe 1:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188)

Teilaufgabe 2:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189)

Warnbeispiele[Bearbeiten]

Nicht immer ist es sinnvoll die Regel von L’Hospital anzuwenden. Insbesondere darf sie nicht angewendet werde, falls die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. In diesem Fall kann das überstürzte Anwenden der Regel ein falsches Ergebnis liefern. Daher wollen wir einige Warnbeispiele besprechen, die dies veranschaulichen sollen.

L’Hospital kann sehr langwierig/umständlich sein - Es muss nicht immer L’Hospital sein![Bearbeiten]

Wachstumsverhalten von Exponential- und Logarithmusfunktion[Bearbeiten]

Betrachten wir hierzu den Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190) für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (191) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (192)

Dieser ist vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (193) und L’Hospital ist somit anwendbar, und ergibt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194)

Der Limes ist nun wieder von Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195). Wiederholen wir die Regel, so gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196)

Wir erkennen bei der Anwendung der Regel von L’Hospital das folgende Muster: Der Zähler bleibt bleibt gleich bis auf den Vorfaktor, dieser ändert aber am Divergenzverhalten gegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197) nichts. Im Nenner vermindert sich die Potenz von Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198) in jedem Schritt um eins. Wenden wir daher die Regel von L’Hospital daher insgesamt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199)-mal an, so erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (200)

Dieses Resultat hätten wir allerdings auch wesentlich schneller und eleganter erreichen können. Wir haben weiter oben schon durch einmaliges Anwenden von L’Hospital gezeigt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201)

für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202). Damit folgt nun

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203)

da Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204).

Hinweis

Der Grenzwert besagt, dass jede Exponentialfunktion schneller wächst, als jede noch so große Potenzfunktion.

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 7)

Bestimme für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (205) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (206) den Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (207)

durch

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208)-maliges Anwenden der Regel von L’Hospital.
  2. einmaliges Anwenden der Regel von L’Hospital und geschicktes Umformen.

Lösung(Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 7)

Teilaufgabe 1: Der Grenzwert ist vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (209) und L’Hospital ist anwendbar. Es gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (210)

Der Grenzwert ist wieder vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (211), die Potenz im Zähler verringert sich um eins, die im Nenner bleibt gleich. Nach Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212)-maliger Anwendung von L’Hospital erhalten wir damit

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213)

Teilaufgabe 2: Es gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214)

für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215). Damit folgt nun

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (216)

da Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (217).

Hinweis

Der Grenzwert besagt, dass die Logarithmusfunktion langsamer wächst, als jede noch so kleine Potenzfunktion.

Wachstumsverhalten von Polynomen[Bearbeiten]

Betrachten wir nun den folgenden Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218):

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219)

Hier liegt, wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220) der Fall Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221) vor, und durch dreimaliges Anwenden der Regel von L’Hospital erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222)

Alternativ lässt sich der Grenzwert auch ohne L’Hospital durch ausklammern und anschließendem Kürzen der höchsten Potenz (Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223)) berechnen:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (224)

Sind nun allgemein Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (225) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (226) normierte Polynome, so gilt ebenfalls

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (227)

Wollen wir dies mit der Regel von L’Hospital zeigen, so müssen wir diese insgesamt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (228)-mal anwenden, und erhalten

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (229)

Zur Berechnung ohne L’Hospital können wir wieder die höchste Potenz, also Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (230), ausklammern, kürzen, und anschließend den Grenzwert berechnen:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (231)

Aufgabe(Grenzwert von gebrochen rationaler Funktion)

Zeige für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (232):

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (233)

Lösung(Grenzwert von gebrochen rationaler Funktion)

Fall 1: Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (234)

1.Möglichkeit: Ohne L’Hospital

Wir klammern die größte Potenz Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (235) aus, und erhalten

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (236)

2.Möglichkeit: Mit L’Hospital

Wir wenden die Regel von L’Hospital Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (237)-Mal an, und erhalten

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (238)

Fall 2: Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (239)

1.Möglichkeit: Ohne L’Hospital

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (240)

2.Möglichkeit: Mit L’Hospital

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (241)

Fall 3: Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (242)

1.Möglichkeit: Ohne L’Hospital

Wir klammern die größte Potenz Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (243) aus, und erhalten

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (244)

2.Möglichkeit: Mit L’Hospital

Wir wenden die Regel von L’Hospital Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (245)-Mal an, und erhalten

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (246)

L’Hospital kann nicht zum Erfolg führen[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt wollen wir einige Beispiele von Grenzwerten vorstellen, bei denen die Regel von L’Hospital „versagt“. Dies kann passieren, da die Regel von L’Hospital eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung für die Existenz des Grenzwerts Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (247) ist.

L’Hospital führt in Endlosschleife[Bearbeiten]

Manchmal kann es vorkommen, dass sich die Regel von L’Hospital „im Kreis dreht“. Ein Beispiel ist

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (248)

Dieser Grenzwert ist vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (249), und L’Hospital ist anwendbar. Tun wir dies, so erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (250)

Der entstandene Grenzwert ist nun wieder vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (251). Schauen wir genauer hin, so erkennen wir, dass sich durch die Anwendung von L’Hospital Zähler und Nenner vertauscht haben. Wenden wir nun die Regel erneut an, so ergibt sich

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (252)

Es entsteht also wieder der ursprüngliche Grenzwert. Die Regel von L’Hospital bringt uns daher bei diesem Grenzwert nicht weiter! Allerdings gibt es eine relativ einfache Möglichkeit ohne L’Hospital ans Ziel zu gelangen:

Klammern wir im Zähler und Nenner Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (253) aus, und kürzen anschließend, so erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (254)

Aufgabe(Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 1)

Bestimme den Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (255)

Welches Problem ergibt sich bei der Anwendung der Regel von L’Hospital?

Lösung(Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 1)

Durch Ausklammern von Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (256) im Nenner erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (257)

Die Anwendung der Regel von L’Hospital führt in eine Endlosschleife, denn

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (258)

L’Hospital führt in Sackgasse[Bearbeiten]

Es kann auch passieren, dass die Anwendung von L’Hospital die Situation sogar „verschlimmert“. Das heißt, ein Grenzwert, der existiert, kann durch Anwendung der Regel in einen Grenzwert umgeformt werden, der nicht mehr existiert. Beachtet daher immer: Aus Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (259) folgt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (260), aber nicht umgekehrt. Insbesondere kann daraus, dass Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (261) nicht existiert, nicht gefolgert werden, dass Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (262) nicht existiert. Betrachten wir hierzu

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (263)

Es gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (264). Daher liegt der Fall Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (265) vor. Anwendung von L’Hospital liefert nun

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (266)

Nun haben wir aber ein Problem, den dieser Grenzwert existiert nicht. Betrachten wir nämlich die Folgen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (267) mit

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (268)

Diese divergiert bestimmt gegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (269). Es gilt jedoch

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (270)

Dieser Grenzwert existiert nicht (auch nicht uneigentlich), da Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (271) divergiert. Dies bedeutet, dass auch hier L’Hospital unbrauchbar ist. Dass der ursprüngliche Grenzwert sehr wohl existiert, sehen wir an folgendem Umformungstrick: Wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (272) gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (273)

Aufgabe(Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 2)

Bestimme

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (274)

Welches Problem ergibt sich bei der Anwendung der Regel von L’Hospital?

Lösung(Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 2)

Zunächst gilt mit einem simplen Umformungstrick:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (275)

Weiter ist zum Einen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (276), was unmittelbar aus der Abschätzung Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (277) folgt. Und zum Anderen ist Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (278), was wir mit der Regel von L’Hospital weiter oben gezeigt haben.

Insgesamt erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (279)

Wenden wir die Regel von L’Hospital an, was erlaubt ist, da der Grenzwert vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (280) ist, so ergibt sich

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (281)

Dieser Grenzwert divergiert nun, da der (Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (282))-Ausdruck für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (283) divergiert. Denn für die Nullfolge Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (284) gilt: Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (285). Also war die Anwendung von L’Hospital erneut erfolglos!:-(

L’Hospital kann ein falsches Ergebnis liefern[Bearbeiten]

Dies kann immer dann passieren, wenn die Regel angewendet wird, obwohl die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Ein Beispiel ist

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (286)

Genau hinsehen, in diesem Fall geht Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (287) gegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (288), nicht Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (289)! Da Zähler und Nenner stetig in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (290) sind, gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (291)

L’Hospital ist für den Fall Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (292) nicht anwendbar. Wendet ihr die Regel trotzdem an, so erhaltet ihr das falsche Ergebnis

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (293)

Daher solltet ihr immer zuerst überprüfen, ob die Regel von L’Hospital überhaupt anwendbar bzw. nötig ist.

Aufgabe(Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 3)

Bestimme die Grenzwerte

  1. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (294)
  2. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (295)

Welche Grenzwerte ergeben sich bei der fälschlichen Anwendung der Regel von L’Hospital?

Lösung(Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 3)

Teilaufgabe 1: Durch Einsetzen ergibt sich

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (296)

Da der Grenzwert vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (297) ist, ist L’Hospital nicht anwendbar. Wenden wir die Regel trotzdem an, so erhalten wir das falsche Ergebnis

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (298)

Teilaufgabe 2: Da der Grenzwert vom Typ Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (299) ist, verwenden wir zunächst unseren Standard-Umformungstrick

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (300)

Für den Ausdruck im Exponenten gilt nun Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (301). Wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (302) ergibt sich

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (303)

Im Exponenten ist L’Hospital erneut nicht anwendbar. Wenden wir die Regel an, so erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (304)

Wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (305) folgt das falsche Ergebnis

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (306)

Folgerung: Hinreichendes Kriterium für Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Satz(Kriterium für Differenzierbarkeit)

Sei Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (307) ein offenes Intervall und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (308). Weiter sei Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (309) stetig auf Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (310) und differenzierbar auf Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (311). Außerdem existiere Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (312). Dann ist f differenzierbar in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (313) und es gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (314).

Beweis(Kriterium für Differenzierbarkeit)

Wir müssen zeigen:

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (315)

Nun gilt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (316) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (317). Außerdem sind Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (318) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (319) differenzierbar für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (320), und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (321). Mit der Regel von L’Hospital gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (322)

Damit ist Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (323) in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (324) differenzierbar mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (325).

Alternativer Beweis(Kriterium für Differenzierbarkeit)

Ebenso können wir mit Hilfe des Mittelwertsatzes

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (326)

zeigen. Sei dazu Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (327) eine Folge in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (328) mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (329). Dann ist Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (330) nach Voraussetzung für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (331) stetig auf Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (332) (bzw. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (333)) und differenzierbar auf Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (334) (bzw. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (335)). Nach dem Mittelwertsatz gibt es für alle Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (336) ein Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (337) (bzw. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (338)) mit

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (339)

Da nun Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (340) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (341) (bzw. Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (342)), gilt auch Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (343). Wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (344) folgt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (345). Also erhalten wir

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (346)

Da Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (347) mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (348) beliebig war, ist

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (349)

Hinweis

Eine Funktion, die das Kriterium aus dem Satz erfüllt, ist nicht nur differenzierbar im Punkt Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (350). Wegen Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (351) ist die Ableitungsfunktion sogar stetig in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (352). Daher ist das Kriterium auch hinreichend und nicht notwendig für die Differenzierbarkeit in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (353).

Verständnisfrage: Gib eine differenzierbare Funktion an, die die Voraussetzungen des Satzes nicht erfüllt.

Wir suchen eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung in einem Punkt nicht stetig ist. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (354)

Sie hat in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (355) die Ableitung Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (356), ist dort jedoch nicht stetig, da der Grenzwert

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (357)

nicht existiert.

Aufgabe(Differenzierbarkeit der Si-Funktion)

Sei

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (358)

Zeige, ohne Benutzung des Differentialquotienten, dass Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (359) im Nullpunkt differenzierbar ist, und berechne die Ableitung Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (360).

Lösung(Differenzierbarkeit der Si-Funktion)

Schritt 1: Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (361) ist stetig in null

Mit der Regel von L’Hospital gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (362)

Also ist Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (363) stetig in null.

Schritt 2: Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (364) ist differenzierbar in Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (365)

Da Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (366) und Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (367) auf Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (368) differenzierbar sind, ist mit der Quotientenregel auch Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (369) dort differenzierbar. Weiter gilt für Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (370):

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (371)

Schritt 3: Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (372) ist differenzierbar in null

Wir benutzen das Kriterium aus dem Satz zuvor. (Wegen Schritt 1 und 2 anwendbar.) Es gilt

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (373)

Nach dem Kriterium ist Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (374) in null differenzierbar mit Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (375).

Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit →

Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (376)

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Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (380)

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Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)
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Author: Edmund Hettinger DC

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Name: Edmund Hettinger DC

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Job: Central Manufacturing Supervisor

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